Забытое исчисление (в мире цепных дробей)

Часть 2

(часть 1 см. "Компьютер в школе" № 7, сентябрь 1999, стр. 40 - 41)

Феликс Широков

   Мы показали (см. часть 1), как с помощью цепных дробей решить простенькое квадратное уравнение:

z² - 3z + 2 = 0             (1)

   с корнями 1 и 2. При этом было введено и само понятие цепной (непрерывной) дроби.
   Конечно, это был не просто пример, а иллюстрация метода. Он, этот метод, может систематически применяться для исследований и практических вычислений.
   Уравнение (1) приводит к цепной дроби для корня 1:

          (2)

   (В части I допущена опечатка, формулу (7) в ней следует заменить данной формулой).
   Если взять другое уравнение:

z² - 4z + 3 = 0              (3)

   с корнями 1 и 3, то оно приведет нас к другой цепной дроби для корня 1:

            (4)

   C подходящими дробями

...               (5)

   еще более "выразительно" сходящимися к 1.
   Таким образом, одно и то же число 1 имеет различные представления цепными дробями (2) и (4). Эти дроби представляют корни соответствующих уравнений, а не просто число. Взяв еще одно уравнение:

z² - 5z + 4 = 0           (6)

   мы получим еще одну цепную дробь, сходящуюся к 1.
   Мы ввели также некоторое представление уже для самих чисел. Такую цепную дробь можно назвать каноническим представлением числа x, которое в нее разлагается:

         (7)

   где а0 - целое, а а1, а2, ... аn, ... - натуральные (т. е. целые положительные) числа. Шлейфом такой дроби мы назвали последовательность ее (целочисленных) элементов:

а0; а1, а2, ..., аn, ...

   Разложения (2) и (4) отнюдь не являются каноническими разложениями корня 1.
   Для подходящих дробей, например (5), можно написать их канонические разложения:

   У них короткие шлейфы
   [0; 1, 3], [0; 1, 12], [0; 1, 39],
   которые, если угодно, сходятся к шлейфу [0; 1] для числа 1. Здесь весь шлейф стабилизируется, а его последний элемент быстро растет.
   Мы приходим к представлению об элементах шлейфа как функциях переменного х:

а0 = а0(х), а1 = а1(х), ...аn = аn(x)          (8)

   когда само х бежит по числовой оси, его шлейф меняется (как по своей длине, так и по величине элементов).
   Мы рекомендуем читателю построить графики нескольких начальных элементов шлейфа как функций от х. Скажем, графики первых четырех элементов аi(x), 0 < i < 3.
   Это прием "learn by doing", с его помощью читатель хорошо почувствует скачки шлейфа.
   Математика - это не просто выстраивание логических цепочек, это еще и эмоциональное, выразительное мышление. Видение объектов "внутренним взором". В этом "секрет" любой из наук; в этом смысле математика от них не отличается.
   Ситуация со шлейфом чем-то напоминает шахматную партию. В шахматах "качество" позиции резко меняется при перемещении любой фигуры. Можно попробовать ввести числовые характеристики "уютности" положения отдельных фигур. В начальной позиции белая ладья на поле А1 чувствует себя "уютно". Уютность пропадает, когда с развертыванием партии ладья оказывается под угрозой. "Шлейф уютности" резко меняется от хода к ходу шахматной партии.

   Сейчас в разных странах вводятся единые пластиковые карточки, несущие на себе обширные шлейфы их владельцев. Такой шлейф характеризует социальное положение человека. Элементы "магнитного разума", все шире и шире проникающие во все уголки и закоулки нашей жизни, прочитывают с пластиковой карточки те или иные элементы шлейфа и регулируют нашу жизнь. Автомат в метро, прочитав магнитный билет, разрешает (или не разрешает) пассажиру пройти. И тут человек вступает в борьбу со шлейфом. Он искусно заклеивает на билете ту зону, в которой находится счетчик числа поездок. Счетчик перестает уменьшаться и "полезность" билета возрастает...
   Но вернемся к нашим корням, к нашим цепным дробям. Можем ли мы быть уверены, что метод цепных дробей применим к любым квадратным уравнениям с (различными) вещественными корнями?
   Да, можем! Мы скоро убедимся в этом.
   А что будет, если корни комплексны? Цепная дробь, порожденная уравнением с вещественными коэффициентами, "не подозревает" о таком подвохе. Да и вообще комплексные числа - это сравнительно недавнее творение разума. В мире реальных геометрических фигур, поверхностей, объемов их как будто бы нет.
   Цепная дробь должна как-то выразить свое негодование. У нее нет другого выхода, и она начинает "капризничать".
   Но в чем же будет заключаться ее каприз?
   Рассмотрим квадратное уравнение

z² - 2z + 2 = 0           (9)

   "чуть-чуть" отличающееся от уравнения (1). Имеем

z² - 2z + 2 = 0 =>

   и мы приходим к цепной дроби

            (10)

   с подходящими дробями:

0, = 1,

   и, о ужас!

            (11)

   Вот оно! Цепная дробь просто перестает существовать как осмысленное числовое выражение! У подходящей дроби возникает нулевой знаменатель.
   Символическое выражение (10) остается, но оно теряет свой "арифметический смысл". Дробь не только отказывается сходиться, она отказывается существовать.
   Аналогично будет вести себя и ее напарница, порождаемая формулой

z² - 2z + 2 = 0 => z² = 2 -           (12)

   И здесь, в этой математической миниатюре, мы сталкиваемся с одним исключительно важным общенаучным явлением. С вопросом о наличии "смысла" у символов, порождаемых "чистым разумом".
   Чаще всего мы слышим о "физическом смысле" в среде физиков-теоретиков. Аргумент об отсутствии физического смысла действует убийственно.
   Математики говорят об этом значительно реже. Их работа состоит в том, чтобы раздвинуть границы своих рассуждений, построить новые сущности, вскрыть их природу и достигнуть как можно более широкого "пространства рассуждений" (space of discourse).
   Неудачные попытки канут в небытие. Удачные - такие, как построение "сферы" комплексных чисел, входят в золотой фонд математических основ знания. С математического Олимпа очередные пророки (и очередные догматики) несут свет знания язычникам.
   Никаких сомнений! Лектор-оракул всегда прав; но рожа дьявола тотчас появляется в окне. Не потому ли большие лекционные аудитории часто строят без окон, без "дневного света"...
   Мы беседуем с вами на исходе второго тысячелетия христианской эры. Но в самом начале этого тысячелетия велись споры между номиналистами и реалистами.

   ... Во времена Архимеда не было символа п. Он появился значительно позднее. Но Архимед выполнил огромную исследовательскую работу, позволившую ввести этот символ. Он установил, что многие коэффициенты пропорциональности для круглых тел - шаров, сфер, цилиндров и т. д. содержат один и тот же множитель. Например, каково соотношение между объемами шара и цилиндра, в который вписан этот шар?
   Надо сказать, что эта задача, решенная Архимедом, даже не упоминается в современных школьных курсах.
   Архимед, по-видимому, владел какими-то представлениями о цепных дробях; во всяком случае, полученные им результаты совпадают с подходящими дробями очень высокого порядка для таких чисел как v3. Об этом мы напишем в дальнейших частях нашего микрокурса.
   Здесь же нам важно другое. За две-три тысячи лет своего развития математика выработала обширнейшую символику. Мы не задумываясь швыряемся такими символами, как п или "мнимая единица" i (v-1) и т. п.
   Но вернемся снова к нашим дробям.
   Итак, будут ли сходиться наши (не канонические!) цепные дроби к корням, если корни вещественные? Пусть для простоты оба корня положительные; a - меньший из них, b - больший.

0 < a < b < oo             (13)

   Мы знаем, что коэффициенты уравнения

z² + bz + c = 0

   связаны с корнями формулами

b = - ( a + b ), с = ab             (14)

   и значит, дробь для меньшего корня

   имеет вид

                   (15)

   Построение подходящих дробей можно производить рекуррентно

z0 = 0, ,

   И вообще

, n = 1, 2, ...          (16)

   Легко видеть, что все эти числа положительные; кроме того, они монотонно возрастают. Формула (16) сразу же показывает, что разность zn-zn-1 имеет тот же знак, что и предыдущая разность zn-1-z n-2.
   Действительно,

zn - zn-1

            (17)

   Монотонность роста и дает сходимость.
   Аналогично рассматриваются и другие случаи расположения корней.
   Истолкуем теперь наше уравнение

z² + bz + c = 0

   как геометрическую задачу отыскания пересечения двух линий.
   Введем оси координат X и Y и рассмотрим параболу

y = x²              (18)

   и прямую

y = -bx - c            (19)

   Их пересечение в точке (x,y) равносильно выполнению равенства

x² = -bx - c

   С точностью до обозначения (x вместо z) это и есть наше уравнение.

Рис 1. Парабола y = x2

Рис 2. Прямая y = -bx - c

   Нам удобнее теперь переобозначить -b через b и -с через с, т. е. истолковывать уравнение

x² = bx + c               (20)

   как задачу пересечения кривых: параболы

y = x²                (21)

   и прямой

y = bx + c            (22)

   Парабола (21) - это фиксированная кривая, а прямая (22) образует семейство с параметрами b и с
   Параметр b - это наклон (тангенс угла наклона) прямой (21) к оси х. Зафиксируем наклон и будем менять параметр с:

- oo < C < oo.

   Мы получим семейство параллельных прямых. При больших отрицательных с прямая не пересекается с параболой. При больших положительных с она имеет две точки пересечения с параболой. При некотором критическом с она касается параболы. Случай больших положительных с - это случай двух различных вещественных корней.
   Случай больших отрицательных с - это случай отсутствия вещественных корней (комплексные корни).
   Случай критического с - это момент перехода из одной "фазы" в другую. Случай перехода между вещественной и комплексной фазами.

Рис. 3. Семейство параллельных прямых y = bx + c, - oo < c < oo

Рис. 4. "Фазовый" переход

   Когда параметр с, имеющий значение больше критического, "начинает опускаться", корни уравнения левый и правый начинают сближаться. Левый движется направо, правый - налево. Сближение происходит до достижения параметром с своего критического значения. После чего вещественные корни, слившись в одной точке, уходят в "комплексное небытие".
   Найдем критическое значение с и положение слившихся корней. Для этого нам надо будет прибегнуть к простейшему приему из анализа.
   В средних школах такой страны, как Сирия, учащиеся (etudianter) изучают основы анализа, основы дифференциального и интегрального исчисления. Там сохраняются традиции французских лицеев. Сирия долго оставалась под французским господством.
   В России Obercommando Минобра (тьфу ты, привязалась эта тевтонско-милитаристская терминология!), вело кое-какие разговоры о введении в школах анализа. Они начались, по-видимому, вскоре после второй мировой войны, и, кажется, так никогда и не кончались. Воз и ныне там.
   О чем же идет речь?
   Возьмем на параболе две близких точки с абсциссами х' и х'' и проведем через них секущую.
   Если устремить точки x' и x'' к одной предельной точке х0, например:

x' -> x0 <- x'',

   то секущая перейдет в свое предельное положение - положение касательной. Касательная, разумеется, проходит через точку (х0,х02), и нам нужно только знать ее наклон.

Рис. 5. Секущая к параболе, проходящая через точки (x', x''2) и (x'', x''2) с абсциссами x' и x''

Рис. 6. Наклон секущей = x' - x''

   Наклон секущей равен

   Но x''² - x'² = (x'' - x')(x" + x') > x0
   И поэтому наклон секущей равен

x'' + x'.

   При x', x" -> x0 получаем наклон касательной. Это просто 2х0
   Поэтому уравнение касательной к параболе имеет вид

(у - у0) = 2х0(х - х0)             (23)

   или, что то же самое

(у - х0²) = 2х0(х - х0)            (24)

   Поэтому прямая семейства

у = bx + с

   придет в критическое положение тогда, когда будут выполняться условия

b = 2x0                    (25.1)
c = -x0²                    (25.2)

   Отсюда

x0 = b/2                   (26.1)
c = -b²/4                   (26.2)

   Прямая y = bx + c встречается с параболой y = x² в одной точке тогда и только тогда, когда c = -b²/4; точка имеет координаты (b/2, b²/4).
   Иначе говоря, уравнение

z² = bz - b²/4            (27)

   является критическим в том смысле, что при меньших с, т. е. при

с < -b²/4                      (28.1)

   оно не имеет вещественных корней, а при

c > -b²/4                      (28.2)

   у него два различных вещественных корня.
   Легко показать, что эти корни симметрично располагаются относительно абсциссы точки касания.
   Иначе говоря, когда с растет и переходит через критическое значение -b2/4, корни начинают расходиться влево и вправо симметрично относительно точки x0 = b/2.
   Вместе с тем цепные дроби, построенные для этих корней, сохраняют "арифметический смысл" при c > -b²/4 и теряют его при с < -b²/4.
   Цепные дроби, "ничего не зная" о сфере комплексных чисел, чувствуют некую "потустороннюю" силу, которая мешает им не только сходиться, но и существовать.
   В заключение второй части воспоминаний о забытом исчислении сделаем еще одно замечание.
   Если у нас есть два уравнения, каждое их которых имеет по два различных вещественных корня, то можно построить преобразование, переводящее одно уравнение в другое.
   Пусть это - уравнение

z1² + b1z1 + c1 = 0               (29.1)

   с корнями a1 и b1 и уравнение

z2² + b2z2 + c2 = 0               (29.1)

   с корнями a2 и b2.
   Тогда можно построить линейное преобразование переменных

z2 = pz1 + q

   или (обратное преобразование)

z1 = rz2 + 1

   Первое уравнение переходит во второе, а второе (при обратном преобразовании) - в первое.
   Достаточно подобрать коэффициенты p и q так, чтобы

a2 = pa1 + q                             
b2 = pb1 + q                  (30.1)

   или подобрать коэффициенты r и s так, чтобы

a1 = ra2 + s                             
b1 = rb2 + s                   (30.2)

   Легко связать цепные дроби для отыскания корней первого уравнения с цепными дробями для отыскания корней второго.
   Можно показать, что эти пары цепных дробей ведут себя одинаково.
   Это означает, в сущности, что теоремы сходимости дробей к своим пределам достаточно доказать для какого-то одного уравнения. На другие они распространятся автоматически.
   Это мы фактически и проделали. Уравнение (1) из первой части нашего микрокурса:

z² - 3z + 2 = 0

   и было таким (надеемся, удачным) представителем всего класса уравнений с вещественными, различными корнями.
   Теперь мы ждем обратной связи от читателей журнала "КвШ".
   Разбирать примеры и выполнять расчеты "врукопашную" неудобно. Нужны программы! Нужны компьютерные тренажеры!