Феликс Широков

Его могила возле Сиракуз на острове Сицилия потеряна. Последним ее видел Цицерон лет через полтораста после гибели Великого Геометра. Одно из своих открытий Геометр так ценил, что завещал выбить на своем надгробном камне. Этот камень, заросший зеленью, и отыскал Цицерон…

Рис. 1. Шар, вписанный в цилиндр

Объем шара составляет 2/3 объема цилиндра, в который этот шар вписан.

Школьная математика обходится без Архимеда, а точнее – без "Метрической геометрии". Она почему-то останавливается на Евклиде. Далее по существу постулируется тот факт, что длина окружности пропорциональна его радиусу, а коэффициент пропорциональности есть "мировая постоянная", обозначаемая 2р. Мы привыкли жонглировать алгебраическими символами, такими как или р, ? лишь немногие из нас начинают осознавать проблему несоизмеримости.

Существует огромная дистанция между "простым человеком" и научной "элитой". За прошедшие после Архимеда семьдесят поколений (2200/30=73,3) этот разрыв чрезвычайно возрос и продолжает увеличиваться.

Кто из "обывателей" слышал о квантовой хромодинамике или о стохастическом исчислении Колмогорова?

Знает ли "средний банкир", за что получили Роберт Мертон и Майрон Шоулз Нобелевскую премию по экономике (1997)? За формулу прайсинга производных финансовых инструментов, которая выводится с помощью стохастики.

Эй вы, трейдеры и брокеры, хозяева фондовых бирж, кто из вас умеет пользоваться формулой БШМ (Блена – Шоулза – Мертона)?

Девять дошедших до нас книг, написанных Архимедом, посвящены исследованию "круглых фигур". Но не только "круглых". Сиракузцы, знавшие о чудачествах своего согражданина, сочинили легенду о том, как он выпрыгнул из ванны и с криком "Эврика!" голый бежал по Сиракузам.

Этот закон Архимеда относится уже к произвольным телам. Но где найти его доказательство сейчас, на пороге III тысячелетия?
А ведь это так просто. Достаточно опереться на формулу Гаусса-Остроградского для преобразования поверхностного интеграла в объемный. Как ни странно, этот выигрышный пример не приводится в курсах математического анализа.

Сиракузцы рассказывали также легенду о его последних словах:
Nolle tagere cirenlos meos –- не трогай моих кругов.
Это случилось весной 211 года до нашей эры, когда Сиракузы пали, наконец, под натиском легионов Марка Клавдия Марцелла. Город был отдан солдатам на разграбление. Шла Вторая Пуническая война (218 – 201 гг. до н. э.). В дом Архимеда ворвался легионер, который, кажется, имел приказ привести его к Марку Клавдию.
Архимед родился между 290 и 280 гг. и погиб уже немолодым человеком. Но это ведь счастье – умереть у своих чертежей!…

В Интернете вы можете найти curriculum vitae нашего современника Стивена Гроссберга, директора Центра адаптивных систем при Бостонском университете. Эта автобиография состоит из двух скудных страничек о важных событиях его жизни и из списка почти 400 написанных им работ.
Еще совсем недавно его имя было известно лишь очень немногим, но именно он был избран первым президентом Международного общества нейросетей (INNS – International Neural Network Society).
Биография ученого – это список его работ…

Однако как сильно изменилась наука за последние тысячи лет! Раньше крупнейшее научное открытие можно было выбить на надгробном камне. Его можно было объяснить даже специалисту по риторике. Сегодня же мы словно существуем в другом мире и не хотим слышать о великих открытиях наших дней.
Архимед был не только Великим Геометром, но также и Великим Арифметиком. А ведь тогда не было нашей сегодняшней удобной алгебраической символики. Не было даже десятичной системы счисления.
Приближенные счисления, говорили греки, не дело свободного человека; это – удел раба.
Архимед указал приближение к числу корень из трех:

(1)

Но что это за приближение? Мы покажем, что они являются подходящими дробями для разложения числа в каноническую цепную дробь, т. е. для разложения вида

(2)

где а1, а2, а3, … - целые положительные числа. Но сначала мы должны найти саму эту дробь. Займемся "алгеброй". Каждую из подходящих дробей цепной дроби (2) мы представим в виде отношения двух многочленов, зависящих от ее элементов а0, а1, а2,…

(3)

Вообще

(4)

Здесь
Pn = Pn (a0, a1, …, an) (5.1)
Qn = Qn (a0, a1, …, an) (5.2)
- многочлены от элементов цепной дроби (4)
Начальные многочлены, как мы только что видели, суть
P0 = a0, Q = 1 (6.0)
P1 = a0q1+1, Q1 = q1 (6.1)
P2 = (a0q1+1)a2 + q0, Q2 = q1q2+1 (6.2)
Введем для удобства начальные многочлены с индексом –1:
P-1=1, Q-1=0 (6.1)
Мы получили две последовательности многочленов
Pi и Qi, где i= – 1, 0, 1, 2,… (7)
Составим из элементов дроби и этих многочленов таблицу:

(8)

Легко заметить, что очередная строка таблицы определяется стоящим в ней элементом an и двумя предшествующими строками по формулам:
Pn = Pn-1an + Pn-2 (9.1)
Qn = Qn-1an + Qn-2 (9.2)
где n = 1, 2,…
Для начальных n это проверяется "лобовым" способом:
P1 = a0q1 + 1 = P0 a1 + P-1, Q1 = q1= Q0q1 + Q-1
Для произвольных n это доказывается следующей простой выкладкой. Чтобы перейти от дроби Pn/Qn к дроби Pn+1/Qn+1,
надо заменить в Pn/Qn элемент an на an+1/an+1. Имеем

Поэтому

Формулы (9) доказаны!
Вычисление Pn и Qn становится теперь монотонным занятием, задачей для робота. Чтобы заполнить строку и таблицы (8), возьмите ее предыдущую строку, домножьте на an и прибавьте предпредыдущую строку.
Это – рецепт вычисления таблицы (8), если известны ее элементы. Вопрос о нахождении элементов an для данного числа x – это отдельный вопрос.
Покажем, как найти элементы для числа . Именно, покажем, что

(10)

Это – периодическая цепная дробь с периодом 1, 2.
Имеем ( - 1)( + 1) = 2 (11)
Откуда

Если обозначить - 1 через z, то последнее соотношение примет вид

(12)

Это и дает цепную дробь (10).
Таблица (8) для корня теперь легко заполняется.
Мы добавим к ней еще один (правый) столбец, дающий десятичные дроби ?n для Pn/Qn:

(13)

Стоп! Стоп! Восьмая подходящая дробь для числа равна 265/153! Т. е. она равна "левому" числу, найденному Архимедом! (см (2)).
Итак, [1; 1, 2, 1,2, 1, 2, 1, 2] = 265/153!
Продолжим таблицу:

(14)

Стоп! 11-я подходящая дробь равна "правому" приближению Архимеда 1351/780!
Как сумел Архимед найти эти приближения? Знал ли он цепные дроби как парадигму? По-видимому, нет. Но алгоритм, который теперь называют алгоритмом Евклида, он безусловно знал!
Заметим теперь следующее.
В случае канонической цепной дроби (12), каковой, в частности, является наша цепная дробь (10) для числа , четные подходящие дроби образуют возрастающую последовательность, а нечетные – убывающую.
Имеем

(15)

Слева стоят возрастающие подходящие дроби с четными номерами, справа – убывающие с нечетными. Последовательность в целом "скачет", суживая величину скачков. Несколько начальных "скачков" изображено на следующем рисунке.


Рис 2. Четные и нечетные подходящие дроби для

Изобразить приближение на чертеже, выдерживая масштаб, невозможно. Они слишком быстро сходятся. Нижнее приближение Архимеда (265/153 = 1,7320261) дает погрешность в пятом знаке, верхнее (1351/780 = 1,7320513) – в седьмом.
Это –- третий век до христианской эры! Этих приближений достаточно даже в наш век прецизионного машиностроения. Их хватит, по-видимому, и машиностроению грядущих веков. "Такое" значение равно 1,7320508.
Постараемся понять, почему происходят эти скачки вверх и вниз от разлагаемого числа. Предыдущая подходящая дробь получается из данной "обрубанием хвоста"

(16)

Если отбросить 1/an в последнем знаменателе, то он уменьшится.

(17)

Но тогда дробь

(18)

увеличится

(19)

дробь

(20)

также увеличится

(21)

а дробь

(22)

уменьшится и т. д.
Вообще, дробь с "первым" знаменателем А/В при его уменьшении увеличивается, а дробь А/(В/С) при уменьшении второго знаменателя С уменьшается.
Обратим еще раз внимание читателя на тот факт, что при решении квадратного уравнения в цепных дробях мы использовали неканонические дроби. Там вся последовательность подходящих дробей шла в одну сторону (либо увеличивалась, либо уменьшалась). Для меньшего корня она монотонно возрастала, а для другого – монотонно убывала. Читатель, используя только что приведенные соображения, легко установит, почему при знакопеременных цепных дробях подходящие дроби меняются в одну сторону.
В заключение этой третьей части нашего микрокурса мы познакомим читателя с тем ходом мысли, который привел к самому появлению этого курса.
В 1944 году автор поступил на механико-математический факультет Московского университета. Было голодно, но военный кризис уже прошел. Отстояв Сталинград и выиграв битву на Курской дуге, советские войска приближались к границам Германии, и каждая неделя, каждый день приносили сообщения о взятии все новых и новых городов.
Волна свободы двигалась на запад; по вечерам гремели салюты, и небо над Москвой расцветало огнями сигнальных ракет. Однажды стреляли даже цветными трассирующими пулями – истребители над Москвой. Но это уже было опасно.
Вместе с небом расцветал и мехмат, возвращались демобилизованные раненые, профессура разворачивала спецкурсы, которыми всегда гордился наш факультет.
Профессор В. Ф. Каган, который начинал свою карьеру в начале века, читал на мехмате геометрию Лобачевского. Он тепло отнесся ко мне, и я бывал у него дома на Большой Полянке. У него всегда находился стаканчик чая для студента.
Эти дни на мехмате запали мне в память, это был импринтинг.
И вот совсем недавно я наткнулся на статью “Геометрия”, написанную Веньямином Федоровичем для первого издания Большой советской энциклопедии (см. БСЭ т. 15, столбцы 325-385, 1929 г.).
Вот что писал он в этой статье (см. ст. 331-332):
"Эпоха великих геометров (Второй Александрийский период). Наиболее характерной чертой Второй Александрийской эпохи является то, что она принесла с собой метрику, которой Геометрии Евклида недоставало. Ту задачу, которую Евклид, может быть, сознательно обходил –- измерение, –- Архимед оставил во главу угла. Это не случайно, а связано с тем прикладным направлением, которым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эпоху (III в. до н. э.), когда борьба между отдельными греческими государствами за независимость и гегемонию достигла высочайшего напряжения; старость же его протекла в годы, когда началась решительная борьба Эллады за самое ее существование. Легенды связывают всю защиту Сиракуз с именем Архимеда, который изобретал все новые и новые метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды, судить трудно. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного сочинения. В III в. до н. э. прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Заслуга Архимеда заключается в том, что он установил теоретические основы, на которых, в конечном счете, и по сей день покоится машиностроение – он фактически создал основы механики".
Из покоренных Сиракуз Марк Клавдий Марцелл увез с собой в Рим два научных трофея, похищенных им у Архимеда из его дома-лаборатории: один из них – шар, на котором были выгравированы или нарисованы звезды и созвездия. Эта "звездная сфера" была значительно старше самого Архимеда. Цицерон считал, что ее создали знаменитые геометры Фалес и Евдокс. Эту сферу Марцелл отдал в храм Добродетели. Вторую трофейную сферу он оставил себе. Это было творение самого Архимеда: планетарий, –- механическая модель, которая показывала движение Солнца, Луны и планет, если смотреть на них с Земли.
Цицерон писал, что невозможно представить себе тот человеческий гений, который способен построить такую модель.
Греческий математик Папп из Александрии, который жил в IV веке нашей эры, утверждает, что Архимед написал еще один текст – "Об изготовлении сфер", эта была единственная книга, написанная Архимедом для практических целей. Эта рукопись утрачена.

Здесь мы вынуждены прервать наш рассказ, оставив его "изюминку" до следующего номера.