Забытое исчисление (в мире цепных дробей) Антикифера

Один из трофеев он оставил себе. Это было творение самого Архимеда, планетарий – механическая модель, которая показывала движение Солнца, Луны и планет, если смотреть на них с Земли. Цицерон писал, что невозможно представить себе тот человеческий гений, который способен построить такую модель...

Наш рассказ оборвался на полуслове. Читатель, сними с полки запыленный номер с третьей частью нашей статьи, www.osp.ru/school/1999/9/18.htm.

Математика существует вне времени и пространства, в особом мире идей – «платоновских» идей.

Разделенные веками, идеи общаются друг с другом, как будто встречались только вчера. Но хорошо бы встретиться с самим Архимедом и прослушать курс его лекций «Об изготовлении сфер»; ведь этот манускрипт, как свидетельствует Папп – еще один профессор Александрийской Школы – был утрачен. Папп жил через полтысячи лет после Архимеда, в первой половине четвертого века уже нашей эры. Как раз тогда, когда император Константин переносил столицу из Рима во вновь отстроенный город, который теперь называют Стамбулом...

«Математическое собрание» Паппа – это путеводитель по греческой геометрии. Папп обсуждает построения и теоремы более чем тридцати греческих математиков: Эвклида, Архимеда, Птолемея... Папп – комментатор, но иногда он дает альтернативные доказательства и даже обобщает древние теоремы, как он сделал это с теоремой Пифагора. Папп, собственно, написал историю идей.

Создание подобного курса сегодня – задача прикладной мультимедийной технологии. Ее средства позволяют приступить к воссозданию образов людей, с которыми нам не довелось встретиться в жизни. Их голоса слышатся нам в шелесте древних страниц, но ведь «оживил» же Билл Гейтс один из кодексов Леонардо да Винчи!

Никаких «вещественных доказательств» от планетария Архимеда не сохранилось. Но в начале XX-го века ловцы губок обнаружили на дне Эгейского моря возле острова Антикифера обломки корабля, ушедшего в плавание с острова Родос в конце первого века до нашей эры. В обломках был найден ящичек с коробку для сигар, пролежавший на дне почти две тысячи лет. В нем находились остатки какого-то механизма, который по имени острова назвали Антикиферой (Anti-kythera).

Понадобилось еще два поколения, чтобы очистить находку от морских наслоений и понять, что это – сложный шестереночный механизм и, наконец, что это – первая в истории навигационная машина. Ее чертежи восстановлены. Уже в наше время Дерек де Солла Прайс, историк из Йельского Университета (Yale University), подтвердил, что это – древний планетарий.

Планетарием, собственно, называют механизм, который показывает движение небесных тел с геоцентрической точки зрения. Механизм, показывающий их движение с гелиоцентрической точки зрения, называют оррерием (orrery).

Orrery – механическая модель солнечной системы, показывающая околосолнечные орбиты планет с правильными относительными скоростями. Это слово возникло в начале XVIII века и связано с именем Чарльза Бойля, четвертого графа Оррерия (Earl of Orrery 1676-1731) у которого был такой механизм, сделанный по его заказу – ФВШ

Итак, это был планетарий, а положение небесных тел показывалось циферблатами на его лицевой стороне. Структура механизма, на восстановление которой ушло, повторяем, более полувека «ювелирной» работы столь же сложна, как устройство механических часов нашего времени.

Пока римские легионы топтали поля Европы, эллины вплотную подошли к приборному исследованию мира.

Де Солла приводит доводы в пользу того, что механизм был выполнен в архимедовой традиции, а планетарий Архимеда был его предтечей. В статье «Греческие шестеренки» он даже называет Антикиферу календарным компьютером [D. De Solla Price, Gears from Greeks. The Antikythera mechanism – a calendar computer from ca. 80 B.C., Science History Publications, New York, 1975.]

Планетарий, как и любой новый прибор, начинает свою жизнь в том же мире идей, в котором живет математика, прибор надо сначала мысленно «увидеть».

Еще до эпохи компьютерной графики появился термин визуализация. Слух и речь симметричны в смысле ввода и вывода акустической информации. Правда, слышать мы можем любые звуки, а воспроизводить – не всякие. Однако у нас вообще нет природного органа для выдачи видео-информации. Человек по имени Тед Сериос, конечно не в счет. Он мог, воздействуя взглядом, оставлять изображения на фотопленке. Но его случай, кажется, единственный.

Мы обладаем только средством ввода видео-информации – зрением. Средством вывода нам служит система машинной графики. Возможно, в будущем будут созданы системы прямого вывода видео-информации из мозга. Это зависит от практических успехов новейшей теории сознания, теории, связываемой с именами Роджера Пенроуза (физик) и Стюарта Хаммерова (анестезиолог, Аризонский Университет).

Прежде чем воплотить нашу внутреннюю картину в материальное изделие, мы можем визуализировать ее, т. е. «проиграть» на системе машинной графики. В компютерной визуализации особенно нуждаются автомобильные компании. Раньше они изготавливали модели будущих машин из дерева и пластилина. На новый автомобиль уходило несколько тонн этой детской забавы. Сейчас они создают модели из света. Создадим и мы.

Почему бы не получить визуализацию Антикиферы – планетария в архимедовой традиции – в системе машинной графики? Воссоздать не только внешний облик, но и внутренний шестереночный механизм. Работающий!!! Редакция готова объявить конкурс на лучшее исполнение визуализации. Редакция готова даже помочь энтузиастам получить копии чертежей, которые приводит Де Солла Прайс. Это будет Антикифера из света, лежащая на оптическом диске CD-ROM.

В компьютере можно показать, как бронзовый прибор восстает из морского обломка и как он, брошенный в море, снова становится обломком, покрытым морскими отложениями. Нужно сжать время, текущее на экране.

В Великобритании и сейчас живет рукодельник, который по заказу изготавливает оррерии. Но ведь в компьютере можно преобразовывать планетарии в оррерии и обратно, и даже в «лунарии». Вместе со всеми их «греческими шестеренками», а надписи – на трех языках : на греческом, русском и английском.

Теория шестереночных планетариев (календарных компьютеров) использует цепные дроби; ведь применил же Христиан Гюйгенс цепные дроби к расчету шестереночных механизмов вообще. А Омар Хайам положил их в основу своей идеи реформы календаря. Календарь Омара Хайама точнее грегорианского, основанного на «чистой» эмпирике и на десятичных (а не цепных!) приближениях.

Редакция, однако, клянется, что если никто из россиян не создаст календарный компьютер из света, то она объявит победителями конкурса Христиана Гюйгенса и Омара Хайяма и приложит все усилия к тому, чтобы разыскать их наследников и вручить им награды.

Итак, машинная цивилизация могла начаться на два тысячелетия раньше и протекать совсем по-другому, если бы Марк Клавдий Марцелл не увез в Рим две никому не нужных сферы. Их просто забыли «на чердаке», когда столица переехала в новенький, с иголочки, Константинополь, и на смену античному миру пришла Византия.

И покатилось, покатилось: борьба за власть, кровь, заговоры, ипподром с его колесницами – прообраз будущих стадионов, двупартийная система «синих» и «зеленых» (венеты и прасины), они же болельщики. Один из властителей – император и самодержец Юстиниан – запретил болельщикам, пардон, своим подданным, советоваться с «колдунами и математиками».

Но дадим вновь слово профессору мехмата МГУ Веньямину Федоровичу Кагану, автору статьи об Архимеде в первом издании Большой советской энциклопедии:

«Механика требовала вычисления масс, а следовательно – площадей и объемов, а также – центров тяжести; механика настоятельно требовала метрической геометрии; на этом сосредоточено внимание Архимеда в геометрии. Трудности несоизмеримых отношений он преодолевал в том порядке, который по настоящее время остается, по существу, единственным средством не только практического вычисления, но и теоретического построения учения об иррациональных величинах, – путем составления последовательных приближений. Но на этом-то пути и было необходимым исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла собой самое слабое место греческой математики. Архимед пытался найти радикальное средство преодоления трудностей счисления – этому посвящена его книга «Исчисление песка». К цели это не привело. Это сочинение представляет собой лишнее свидетельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает хороших средств для практического счета. Наиболее важным было приближенное вычисление квадратных корней, необходимое для приближенного же вычисления длины окружности; этому посвящено особое небольшое сочинение, по существу заключающее в себе вычисление периметров правильных 96-угольников, вписанных в окружность и описанных вокруг нее. Все это вычисление исходит из приближенных значений

265         1351
--- < 3 < ----
          153         780

Как Архимед нашел эти значения, остается неразгаданным по настоящее время.»

Эти слова В. Ф., как триггер, заставили мысль работать, и в течение нескольких секунд я понял, что именно нашел Архимед.

Позднее пришло понимание того, как он мог это сделать. Но для того, чтобы пояснить срабатывание триггерного механизма, я должен рассказать еще о двух мехматовских профессорах и о том, чему они меня учили.

Мы установили, что Архимед нашел подходящие дроби для разложения 3 в каноническую цепную дробь. Разумеется, никто не стоял за плечом Архимеда и не подсматривал, как именно он это сделал, но порядок приближений столь высокий, что это нельзя угадать: это можно сделать только регулярным вычислением.

Но регулярное вычисление элементов канонической цепной дроби – это алгоритм Эвклида. При отыскании общего наибольшего делителя двух целых чисел алгоритм Эвклида обрывается, а при вычислении элементов канонической цепной дроби для «несоизмеримого» (иррационального) числа он продолжается до бесконечности. Алгоритм Эвклида преподносится в математических руководствах как алгоритм поиска общего наибольшего делителя двух целых чисел. Его почему-то никогда не преподносят как алгоритм поиска общей меры двух, вообще говоря несоизмеримых, отрезков.

Число 3 – это длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в круг радиуса 1. Архимед, видимо, нашел свои приближения, пытаясь «соизмерить» по Эвклиду эту сторону с радиусом круга. Поищите прямые доказательства этого в архимедовых построениях правильного 96-угольника.

Теперь я должен рассказать о другом знаменитом профессоре мехмата МГУ – об Александре Яковлевиче Хинчине. Вскоре после Второй мировой войны Александр Яковлевич прочел на Мехмате спецкурс по диофантовым приближениям.

Перед нами еще одно греческое имя – Диофант. Кажется, А. Я. читал этот курс только один раз. Диофантово приближение – это набор целых чисел q₁,q₂, ..., q_n,p, минимизирующих линейную форму

α₁q₁+ α₂q₂+...+ α_nq_n- p

(1)

где α₁, α₂,..., α_n– заданные вещественные числа. Речь идет, конечно, о минимизации абсолютного значения формы.

αq - p

(2)

Тогда поиск минимума |αq - p| равносилен поиску наилучших рациональных приближений p/q к вещественному числу α. Естественно, чем больше простора для числа p, тем лучше приближение, которое можно получить за счет выбора q. Оказывается, что наилучшие приближения даются как раз подходящими дробями разложения числа в каноническую цепную дробь.

Александр Яковлевич строил безаппаратную схему диофантовых приближений, т. е. схему, не опирающуюся ни на какие результаты из теории цепных дробей. Не опирающуюся ни на какие системы счисления, ни на какие иные предварительные построения. Наоборот, свойства цепных дробей выводились из результатов о наилучших приближениях. Это была инвариантная теория цепных дробей. Замечательная идея мыслителя!

Мы не знаем, сохранились ли в наследии А. Я. Хинчина какие-либо наброски этой теории. Во всяком случае, в результате его курса идея цепных дробей слилась с идеей наилучших целочисленных приближений (диофантовых приближений).

Один из последних «профессоров» Александрийской Школы – знаменитая Ипатия – была специалистом по теории Диофанта. Толпа фанатиков покончила и с ней, и с самой Александрийской библиотекой. Ипатии было немногим больше сорока, и она не успела прожить ту жизнь, которая ее ожидала. В те годы существовала только идея диофантовых уравнений (уравнений, решаемых в целых числах). Диофантовы приближения – идея нашего времени, еще далеко не исчерпанная.

Мне достаточно было один раз прочесть слова В. Ф. о том, что загадка остается неразгаданной, как разгадка пришла сама собой. Некоторое время ушло на ее оформление.

От моего третьего (и главного!) учителя, профессора мехмата МГУ Дмитрия Евгеньевича Меньшова, я узнал, какую роль играет подсознание в научном творчестве. Он учил меня сознательно пользоваться подсознанием. Работать за столом, загоняя задачу в подсознание, и тогда решение придет само собой, в самый неожиданный момент. Такие авторы, как Жак Адамар, которые писали о математическом творчестве, приводят примеры срабатывания подсознания.

Дмитрий Евгеньевич знал о работе подсознания от своего учителя – великого Н. Н. Лузина, основателя русской школы теории функций вещественной переменной, а Лузин – академик Николай Николаевич Лузин – знал это от самого Павлова – лауреата Нобелевской премии Ивана Петровича Павлова, создателя теории условных рефлексов.

Так, вкратце, родилась идея предлагаемой читателям «КвШ» серии статей о Забытом исчислении.

Но мы не остановились на разгадке приближений к 3 . Нам удалось установить еще ряд фактов, и о них мы тоже хотим здесь рассказать.

Загадка папируса Ринда

Шотландский антиквар Александр Генри Ринд (A. H. Rhind) купил в 1858 году в курортном городке на Ниле древний папирус, который хранится ныне в Британском Музее под названием Папируса Ринда (Rhind Papyrus). Его называют также Папирусом Ахмеса (Ahmes Papy-rus) по имени писца, переписавшего его в 1650 году до Рождества Христова. Папирус Ринда – один из основных источников нашего знания о древнеегипетской математике. Если Архимед жил в III веке до нашей эры, то папирус Ринда относится, как минимум, к XVII; ведь Ахмес был только переписчиком, а автор (или, скорее, авторы этого труда) неизвестен, но он жил еще раньше.

Папирус Ринда (факсимиле и перевод на английский язык) был издан в 1923г. в Лондоне [The Rhind Mathematical Papyrus, publ. T. E. Peet, London, 1923], а затем – как двухтомник – в городе Оберлин в штате Огайо [The Rhind Mathematical Papyrus, publ. A. B. Chance, L. Bull, H. P.Manning, R. C.Archibald, vol. 1, Oberlin, Ohaio 8, 1927; vol. 2, Oberlin, Ohaio 8, 1929]. Это издание сопровождается обширной библиографией по египетской и вавилонской математике. В российских библиотеках нам не удалось обнаружить ни то, ни другое издание. Их нет и библиотеке ГМИИ – Государственного Музея Изящных Искусств, Музея им. А. С. Пушкина.

Читатель, прости, но не мы сочинили это сокращение. Впрочем куда ему до РПЦ, что значит «Русская Православная Церковь» - ФВШ.

Однако вскоре стараниями американских специалистов этот манускрипт станет доступен в сети Интернет. Важно, разумеется, чтобы сама эта сеть была доступна в России. Доступ доступу – рознь. Факсимиле папируса, хранящееся на сервере, требует для своей передачи высоких скоростей, а для восприятия полученного образа требуется приличный монитор. Но кому у нас нужно видеть это сокровище?

Другой источник наших знаний по древнеегипетской математике – папирус Голенищева, хранящийся в ГМИИ. Но нам не удалось найти его следов в сети Интернет.

Как источник знаний о древнеегипетской математике, папирус Голенищева стоит на втором месте после папируса Ринда. Но его следует немедленно «положить» на диск CD-ROM и сделать доступным на сети Интернет. Для этого его надо отсканировать при самой высокой степени разрешения, имеющейся сегодня в арсенале информационной технологии. Эта работа убыточна, но убыточны и многие другие культурные мероприятия. Убыточен Большой Театр, он не может существовать без дотаций. Но подойдите к созданию диска «Папирус Голенищева» как к одноразовому капиталовложению, которое окупится лишь за период в 20 лет. Ведь именно так окупаются авиалайнеры и отели. В конце концов, найдется же в России «сумасшедший», который даст деньги на издание папируса Голенищева. Или, шире, на издание диска «Коллекция Голенищева», где, помимо папируса, будут и другие культурные сокровища, найденные Голенищевым при его раскопках на Ближнем Востоке и переданные им в дар Музею Изящных Искусств в те годы, когда никому не приходило в голову обозвать этот Музей словечком ГМИИ.

В папирусе Ринда содержится удивительная формула для вычисления площади круга. Вот она

S = [(1-1/9)D]²

(3)

«Возьми диаметр круга и отбрось его девятую долю ; на остающемся построй квадрат.»

Формула, конечно, приближенная, но откуда взялся такой рецепт и насколько она точна?

Да ведь это – квадратура круга, и за полторы тысячи лет до Архимеда! Мы придем к ней кратчайшим путем, используя современные обозначения. Ведь научилась же математика чему-то за последние три с половиной тысячи лет! За это время люди нашли точную формулу круга, которую можно записать в любой из следующих ниже форм:

(4)

А теперь разложим точный коэффициент π /2 в каноническую цепную дробь, чтобы получить наилучшие к нему приближения (Диофант, Ипатия, где вы?). Мы воспользуемся отработанной нами таблицей. Пользуясь калькулятором, мы легко заполняем достаточное число строк столбца аn, а затем по реккурентным формулам

P_n=P_n-1 α_n+P_n-2,

Q_n=Q_n-1 α_n+Q_n-2

Мы заполнили таблицу с большим запасом. На самом деле ее строка № 3 уже содержит коэффициент 8/9 = 1 - 1/9, используемый в папирусе Ринда!

Итак, мы установили что и здесь используются наилучшие рациональные приближения.

Трудно сказать, однако, как египтяне нашли этот коэффициент. Его могли найти и просто подбором – что абсолютно исключено в случае приближений 3 , найденных Архимедом.

Найдем отношение приближения 1 - 1/9 к точному значению π /2. Легкий подсчет на калькуляторе дает:

1 - 1/9 = 8/9 = 0.88888
и
π /2 = 0.88622

(1 - 1/9)/(π /2) = 1.00300

Это – великолепно, но неясно другое. Для чего Ахмесу вообще была нужна площадь круга? Круглых полей в Египте не было, и после разливов Нила их не надо снова восстанавливать на местности. Эта задача выглядит как пример абстрактного стремления к знанию.

В заключение отметим, что решение задачи «о квадратуре круга» получено в папирусе Ринда в так называемых аликвотных дробях, т. е. в дробях вида 1/n с числителем 1. Коэффициент 31/35 также можно представить через аликвотные дроби, как и дальнейшие коэффициенты 39/44, 109/123... (Читатель, ты конечно, уже сделал это? Ты вычислил даваемые ими относительные точности?..).

Редакция журнала «Компьтер в школе» объявляет конкурс

на отыскание формул для «квадратуры сферы» и «кубатуры шара» оптимальными коэффициентами по типу формулы из папируса Ринда для квадратуры круга. Коэффициенты следует представить в египетской (аликвотной) форме. Приз – как всегда: публикация статьи + годовая подписка на наш журнал (со второй половины текущего года). Предпочтение будет отдаваться тем авторам, которые напишут программы для вычисления квадратур и кубатур.

А почему бы не взглянуть с египетских позиций на такие фигуры, как правильные многогранники?

И, наконец, где ваши собственные задачи? Какие угодно, но «хорошие». Мы их также опубликуем и наградим!

Браво, Белгород! Так держать!

Мы приводим текст полученного нами письма:

Автор – Золотарев Кирилл Викторович, гимназия № 1, 10-ый «В» класс, Белгород

Вопрос: найти общий вид члена b_n последовательности

 1  4   17  72
     -, --, --, ---, Λ
   4  17  72  305

1. Рассмотрим последовательность 1, 14, 72, 305, К. Это – рекуррентная последовательность a_n+2=4a_n+1+a_n.

Найдем для нее формулу n-го члена по общей теории возвратных последовательностей Эйлера.

Отбросим решение q = 0, сократим обе части уравнения на qⁿ. Получим квадратное уравнение q² = 4q + 1 , которое имеет два ненулевых корня q₁=2+5 и q₂=2+5 .

Итак, найдены две последовательности {q₂ⁿ} и {q₁ⁿ}, удовлетворяющие уравнению a_n+2=4a_n+1+a_n.

Более того, прямая подстановка показывает, что любая последовательность вида

также удовлетворяет этому уравнению. Значит, теперь можно попытаться подобрать такие c₁ и c₂, что первый член последовательности окажется равным 1, а второй 4. И тогда она совпадет с последовательностью

Имеем:

Это – система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которые без труда определяются: c₁= 5 /10 и c₂= - 5 /10.

a_n = (5 /10)((2 + 5)ⁿ - (2 + 5)ⁿ )

   (2 + 5 /10)n - (2 + 5 /10)n
bn=--------------------------------
   (2 + 5 /10)n+1 - (2 + 5 /10)n-1

* * *

Редакция журнала «Компьютер в школе» присуждает ученику 10«В» класса гимназии № 1 города Белгород Кириллу Викторовичу Золотареву первый приз в виде годовой подписки на юбилейный 2000 год за решение им задачи о нахождении общего члена одной рекуррентной последовательности, предложенной в статье Феликса В. Широкова «Забытое исчисление».

Редакция считает, что К. В. Золотарев должен попробовать свои силы для поступления на механико-математический факультет МГУ.

Редакция просит возможных спонсоров из Белгорода помочь оснастить гимназию № 1 выходом на сеть Интернет. Спонсоры, отзовитесь!

Приветствуем Алексея Барышева из Сергиева Посада!

Отвечаем на письмо, полученное нами от девятиклассника Барышева Алексея (г. Сергиев Посад Московской области):

Нам понравилось то, что вы сделали, хотя ваш результат и не является ответом на наш вопрос. Мы постараемся ставить вопросы более четко. Наш вопрос заключался в следующем.

Для нескольких целых чисел N, не являющихся полными квадратами, надо было построить канонические – повторяем, КАНОНИЧЕСКИЕ – разложения N в цепную дробь. Эти дроби оказываются периодическими, однако периодичность может начинаться не сразу. Надо было найти длину периода, обозначим ее L, и составить небольшую таблицу такого вида:

По существу, речь шла о том, чтобы поупражняться в разложениях чисел в канонические цепные дроби.

Вы сделали нечто иное – построили разложения корней в неканонические дроби, но зато с периодом 1. Вы применили тот же прием, который мы применяли для разложения корней квадратного уравнения в цепные (неканонические!) дроби. Это хорошо! Это говорит о хорошем подходе к работе с формулами.

Поэтому мы присуждаем вам приз – годовую подписку на наш журнал «Компьютер в школе» на 2000 год.

Приводим необходимую выдержку из вашего письма.

Разложение N в цепную дробь. Пусть целая часть N равна a. Пусть справедливо равенство

(N - a)(N + a)= b

где N ≠ a. Тогда

             b                          b
N - a = --------    и    N - a = --------
          N + a                    N + a

Воспользуемся этим для разложения N в цепную дробь. Имеем :

 b                 b
N =
a + (N - a) =
a + -------- = a + -------------- =

N + a
 2a + (N - a)


          b
= a + -------------
               b
      2a + ---------
           (N + a)

Откуда

                  b
N = a + -------------------
                     b
          2a + --------------
                        b
               2a + ---------
                     2a + ...

У этой периодической дроби все элементы одинаковы.

Остальные части вашего письма, Алексей, несущественны. Попробуйте «поиграть» с предыдущим выражением и, пользуясь тем, что и – целые положительные числа, превратить эту дробь в каноническую. И вообще поиграйте с цепными дробями. У вас получится! Не пора ли вам задуматься, какие науки вы будете изучать после гимназии?